Narodil se ve Vrútkách na Slovensku. Mládí však prožil ve Valašském Meziříčí, kde bylo skvělé kulturní zázemí. Vyučil se mechanikem pletařských strojů v Krnově, kde také spoluzaložil hudební skupinu a začal hrát v ochotnickém kroužku.
Po absolvování DAMU (1954) působil na oblastních scénách v Kolíně, v Mostě, v Olomouci a v Příbrami. V roce 1963 zakotvil natrvalo v Praze, nejprve v Divadle S. K. Neumanna. Od roku 1967 byl členem Divadla na Vinohradech.
V roce 2010 získal Brzobohatý Cenu města Valašské Meziříčí za rok 2009, a to za celoživotní dílo a propagaci města Valašské Meziříčí.
Na plátně se Radoslav Brzobohatý uvedl hlavní rolí zedníka Kašpara Léna ve Steklého přepisu románu Karla Matěje Čapka-Choda Mstitel. Upozornil na sebe také postavou kriminalisty Vargy v Schulhoffových detektivkách Strach a Vrah skrývá tvář.
Velkou hrdinskou postavu nadporučíka Krále, který vedl skupinu parašutistů při atentátu na Heydricha, vytvořil v Sequensově filmu Atentát. Dalším rebelem, tentokrát při rumburské vzpouře, byl ve filmu Hvězda zvaná Pelyněk. Vrcholem těchto hrdinských typů byl jeho sedlák František z filmu Vojtěcha Jasného Všichni dobří rodáci (1968), jehož děj mapuje tragické lidské osudy po komunistické kolektivizaci venkova po únoru 1948.
Radoslav Brzobohatý si zahrál i ve filmu Noční jezdci, Ucho, Sněženky a machři, v 90. letech pak mimo jiné i ve filmech Má je pomsta, Cesta peklem, Konto separato a Nejasná zpráva o konci světa. Neméně bohatým rejstříkem rolí obohatil Radoslav Brzobohatý také televizní obrazovku.
